פירוק פורייה לפונקציה האלוהית

בס”ד

וְאֶל־מִ֖י תְּדַמְּי֣וּן אֵ֑ל וּמַה־דְּמ֖וּת תַּ֥עַרְכוּ לֽוֹ׃ (ישעיהו מ יח)

וְאֶל־מִ֥י תְדַמְּי֖וּנִי וְאֶשְׁוֶ֑ה יֹאמַ֖ר קָדֽוֹשׁ” (ישעיהו מ כה)

הנביא טוען שאי אפשר להשוות את ה’ לשום בריאה ואי אפשר להעריך את גודלו. דבר זה מזכיר לי מאוד את אנליזת פורייה, אז בואו נדבר על זה קצת.

טענת פורייה היא שאפשר להציג כל פונקציה (תחת תנאים מסויימים שנזכיר בהמשך) כסכום של פונקציות פשוטות (הרמוניות). למעשה העקרון הוא שכל פונקציה, מורכבת ומסובכת ככל שתהיה, היא שקול לסכום של פונקציות פשוטות יותר.

בתמונה אפשר לראות המחשה, כיצד אפשר להרכיב פונקציית מדרגה (ריבועים על ציר מספרים) באמצעות אוסף של גלים הרמוניים (פונקציות sin בעלי זמן מחזור)

אם ניקח זאת לעולם הרוחני נאמר כך: אם ה’ הוא פונקציה, אז אפשר להציג אותה כסכום של פונקציות בסיסיות פשוטות. אפילו אם יהיה דרוש סכום אינסופי כדי להציג את הפונקציה (כפי שאכן קורה במקרים מסוימים באנליזת פורייה) עדיין הדבר אפשרי. טענת פורייה על ה’ מקבילה לטענה הרוחנית “י-ה-ו-ה הוא אלוהים”. י-ה-ו-ה הוא לשון יחיד ואלוהים לשון רבים, כלומר לכאורה ניתן להבין את האחד האינסופי והבלתי מובן (י-ה-ו-ה) באמצעות התבוננות בכוחות הפשוטים במציאות (אלוהים). טענת פורייה על הפונקציה האלוהית טוענת שהסיבה שאנחנו לא יכולים להבין את ה’ היא כיוון שאנחנו מנסים להסביר אותו ישירות, והרי הוא אינסופי ומסובך, אך אם היינו מסתכלים על הכוחות בבריאה (אלוהים הוא הטבע) שהם אמנם רבים מאוד אך פשוטים יותר להבנה, היינו יכולים להבין את ה’ בעצמו באמצעותם. כי האחד האינסופי והכוחות בטבע שווים.

נשווה בין שתי הטענות חזותית:

                        י-ה-ו-ה הוא אלוהים

“י-ה-ו-ה” מקביל ל”f” , פונקציה מסובכת כל שהיא.

“הוא” מקביל ל”=”, טענה ששני הצדדים שקולים.

“אלוהים” מקביל ל”” , סכום של פונקציות פשוטות יותר שניתן להבינן.

הצגנו את טענת פורייה והמשל שלה. האם היהדות מקבלת את טענת פורייה אודות ה’? לא. זהו פנטאיזם – אמונה שהבורא והבריאה הם היינו הך. היהדות מאמינה שאין שום דבר שישווה לו. התבוננות בכוחות הטבע חשובה, אך היא לא יכולה להגדיר את מהותו של ה’, היא יכולה רק לקרב את ההבנה אך לא להשלים אותה.

נשים לב לדבריו של משה רבנו. התורה לא אמרה “ה’ הוא אלוהים”, אלא אומרת “ה’ הוא האלוהים”. ה’ הידיעה אומרת שאין כאן שווין מתמטי, שני הצדדים אינם שקולים. זוהי לא משוואה. כאשר התורה אומרת “אַתָּה֙ הׇרְאֵ֣תָ לָדַ֔עַת כִּ֥י יְהֹוָ֖ה ה֣וּא הָאֱלֹהִ֑ים אֵ֥ין ע֖וֹד מִלְּבַדּֽוֹ” (דברים ד לה) היא טענת שצד אחד כלול בתוך הצד השני ולא שקול אליו. כלומר אלוהים הוא חלק מה’, ולא ישות נפרדת אחרת. הבריאה וכוחותיה אינם ה’ בעצמו וגם לא כוח אחר (אין עוד מלבדו), אלא היא חלק ממנו. במקום סימן שיוון שמיוצג על ידי המילה “הוא” (ה’ = אלוהים) יש לנו סימן  שפירושו כלול בתוך, חלק ממשהו גדול יותר. כלומר צריך לכתוב את הפסוק כך: ”  ” ופירושו אלוהים הוא חלק מה’.

נערבב עוד קצת בין אמונה למתמטיקה. מדוע טענת פורייה לא נכונה כלפי ה’? אפשר להתפלסף על זה מבחינה רוחנית אבל אנחנו פשוט נבדוק מה התנאים המתמטיים הדרושים למפשט פורייה ונראה אם הם מתקיימים.

משפט פורייה קיים רק לגבי פונקציות “חלקות מספיק”, כלומר שמקיימות תנאי רציפות והתכנסות מסוימים (“אינטגרביליות לבג” במקרה הזה). הן לא חייבות להיות רציפות לגמרי (אפשר לעשות פורייה גם לפונקציות עם קפיצות פתאומיות ונגזריות אינסופיות) אבל ישנו תנאי הכרחי, והוא שאפשר יהיה לחשב את השטח שכלוא מתחתם לבין הגרף. בהקשר שלנו, אם נניח שהבריאה היא ציר המספרים וה’ הוא הפונקציה שמעליו (הנחה נועזת למדי, אבל תזרמו), אז צריכה להיות דרך כלשהי לתאר את השטח שכלוא בניהם. כלומר חייבים לדרוש שהחלל שנוצר בין הפונקציה לבין הישר הוא סופי. אם השטח הכלוא בין הפונקציה לישר המספרים הוא אינסופי או בלתי ניתן לחישוב, אזי אי אפשר לעשות פירוק פורייה לפונקציה הזו. בנמשל הרוחני נאמר שאפשר להשוות בין הבורא לכוחות הטבע רק בתנאי שהפער שבין הבורא לבריאה הוא סופי וניתן לחישוב.

שאלנו מה התנאי לכך שאפשר יהיה לעשות אנליזה פורייה לפונקציה שמעניינת אותנו, במקרה הזה ה’. המתמטיקה ענתה לנו שכדי שאפשר יהיה לתאר פונקציה מסובכת באמצעות סכום של רכיבים פשוטים, חייבים להניח שקיימת איזו שהיא הגבלה על הפונקציה הזו, או לפחות הגבלה על הפער שקיים בינה לבין הישר שמעליו היא מוגדרת. במידה שאין הגבלה כזו, אי אפשר לבטא את הפונקציה באמצעות פונקציות פשוטות יותר. בנמשל שלנו, אי אפשר לתאר את ה’ כסכום של כוחות הטבע (=אלוהים) כי זה דורש מאיתנו להגביל את הפער בין ה’ לבריאה. אם נתייחס לבריאה כמישור היחוס שלנו, נהיה חייבים להניח שהחלל בין הבריאה לבורא הוא סופי. זהו פנתאיזם ולא יהדות. ולכן התורה לא מקבלת את הטענה של פורייה בנוגע לפונקציה האלוהית, כדברי הנביא “וְאֶל־מִ֥י תְדַמְּי֖וּנִי וְאֶשְׁוֶ֑ה יֹאמַ֖ר קָדֽוֹשׁ” (ישעיהו מ כה)

נסכם: לא הצלחנו למצוא טור פורייה לפונקציה האלוהית, אפשר לפחות מצאנו הגדרה מתמטית לפנתאיזם.